Ejercicio 1

Sea \(f(x)=\sqrt{x}-\cos x\). Usa el método de la bisección para encontrar \(x\in [0,1]\) tal que \(f(x)=0\).

f_a <- function(x){sqrt(x)-cos(x)}

x_a <- seq(0, 1.5, by=0.0001)
y_a <- f_a(x_a)

graf_a <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje x
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje y
  geom_line(aes(x=x_a, y=y_a), color="red", linewidth=1)+
  #coord_fixed(ratio = 1)+ # misma escala en los ejes
  labs(x="x", y="f(x)", title="Primera gráfica")+
  theme_bw()


ggplotly(graf_a)

Otra opción

graf_a <- ggplot()+
  #geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje x
  #geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje y
  geom_function(fun=f_a, color="red", linewidth=1, n=200)+
  #coord_fixed(ratio = 1)+ # misma escala en los ejes
  xlim(0, 1.5)+
  labs(x="x", y="f(x)", title="Primera gráfica")+
  theme_bw()


ggplotly(graf_a)

Utilizando la función desarrollada en clase

metodo_biseccion(f_a,0,1,1e-10,N=500)
## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.6875000 0.6562500 0.6406250 0.6484375
##  [8] 0.6445312 0.6425781 0.6416016 0.6420898 0.6418457 0.6417236 0.6416626
## [15] 0.6416931 0.6417084 0.6417160 0.6417122 0.6417141 0.6417150 0.6417146
## [22] 0.6417143 0.6417145 0.6417144 0.6417144 0.6417144 0.6417144 0.6417144
## [29] 0.6417144 0.6417144 0.6417144 0.6417144 0.6417144 0.6417144
## 
## $precision
## [1] 5.820766e-11
## 
## $iteraciones
## [1] 34

La raíz es 0.6417144 Utiliando la función de pracma:

bisect(f_a,0,1,500)
## $root
## [1] 0.6417144
## 
## $f.root
## [1] -2.220446e-16
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

Ejercicio 2

Usa el método de la bisección para encontrar una raíz con una precisión de \(10^{-2}\) para \(x^3-7x^2+14x-6=0\) en cada intervalo.

\[\begin{equation} a) [0,1]\qquad\qquad b) [1, 3.2]\qquad\qquad c)[3.2, 4] \end{equation}\]

Ejercicio 3

Usa el metodo de la bisección para encontrar las soluciones con una precisión de \(10^{-5}\) para los siguientes problemas.

  1. \(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

  2. \(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

f_a <- function(x){exp(x)-x^2+3*x-2}

x_a <- seq(-5, 5, by=0.0001)
y_a <- f_a(x_a)

graf_a <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje x
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje y
  geom_line(aes(x=x_a, y=y_a), color="red", linewidth=1)+
  #coord_fixed(ratio = 1)+ # misma escala en los ejes
  labs(x="x", y="f(x)", title="Primera gráfica")+
  theme_bw()


ggplotly(graf_a)
bisect(f_a,-5,5,500)
## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $iter
## [1] 59
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

La raíz está en 0.2575303 c) \(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y \(-1\leq x \leq 0\)

  1. \(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)
f_a <- function(x){x*cos(x)-2*x^2+3*x-1}

x_a <- seq(-1, 2.5, by=0.0001)
y_a <- f_a(x_a)

graf_a <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje x
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje y
  geom_line(aes(x=x_a, y=y_a), color="red", linewidth=1)+
  #coord_fixed(ratio = 1)+ # misma escala en los ejes
  labs(x="x", y="f(x)", title="Primera gráfica")+
  theme_bw()


ggplotly(graf_a)
bisect(f_a,-1,1,500)
## $root
## [1] 0.2975302
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 56
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17
bisect(f_a,1,2,500)
## $root
## [1] 1.256623
## 
## $f.root
## [1] 8.881784e-16
## 
## $iter
## [1] 53
## 
## $estim.prec
## [1] 2.220446e-16

Ejercicio 4

Considera las funciones \(f(x)=x\) y \(g(x)=2 \sin x\). Usa el método de la bisección para encontrar una aproximación con una precisión de \(10^{-5}\) para el primer valor positivo \(x\) tal que \(f(x)=g(x)\).

Ejercicio 5

Sea \(f(x)=(x+2)(x+1)x(x-1)^3(x-2)\). ¿A cuál raíz de \(f\) converge el método de la bisección cuando se aplica a los siguientes intervalos?

\[\begin{equation} a) [-3,2.5]\qquad \qquad b) [-2.5, 3]\qquad\qquad c)[-1.75, 1.5]\qquad\qquad d) [-1.5, 1.75] \end{equation}\]

Ejercicio 6

En cada una de las siguientes ecuaciones, determina un intervalo \([a,b]\) en que convergerá la iteración de punto fijo. Estima la cantidad de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una exactitud de \(10^{-5}\) y realiza los cálculos.

it_pf <- function(g, q0, pr=1e-5, N=100){
  cond <- 1
  it <- 1
  q <- q0
  while(cond==1){
    if(it<=N){
      q[it+1] = g(q[it]) # iteración de la función 
      pr_it <- abs(q[it+1]-q[it]) # precisión en la iteración 
       if(pr_it<pr){
          resultados <- list(sucesion=q, precision=pr_it, iteraciones=it)
          return(resultados)
          cond <- 0
          }#final del segundo if
        else{it <- it+1}
    }#final del primer if
    else{
      print("Se alcanzo el maximo de iteraciones")
      cond <- 0
    }#fin del else
  }#final del while
}# final de la función
  1. \(\quad x=\frac{2-e^{x}+x^{2}}{3}\)
f <- function(x){x}
g <- function(x){(2-exp(x)+x^2)/3}
h <- function(x){g(x)-f(x)}

graf <- ggplot()+
  #geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje x
  #geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje y
  #geom_line(aes(x=x_a, y=y_a), color="red", linewidth=1)+
  geom_function(fun=f,color="red",linewidth=0.75,n=200)+
  geom_function(fun=g,color="blue",linewidth=0.75,n=200)+
  geom_function(fun=h,color="yellow",linewidth=0.75,n=200)+
  coord_fixed(ratio = 1)+ # misma escala en los ejes
    xlim(-2,2)+
  labs(x="x", y="f(x)", title="Primera gráfica")+
  theme_bw()


ggplotly(graf)
it_pf(g,0,pr=1e-10)
## $sucesion
##  [1] 0.0000000 0.3333333 0.2384996 0.2625130 0.2562399 0.2578654 0.2574433
##  [8] 0.2575529 0.2575244 0.2575318 0.2575299 0.2575304 0.2575303 0.2575303
## [15] 0.2575303 0.2575303 0.2575303 0.2575303 0.2575303
## 
## $precision
## [1] 3.945999e-11
## 
## $iteraciones
## [1] 18
bisect(h,0,1)
## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] 1.110223e-16
## 
## $iter
## [1] 55
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

  1. \(\quad x=\frac{5}{x^{2}}+2\)

  2. \(\quad x=\left(e^{x} / 3\right)^{1 / 2}\)

f <- function(x){x}
g <- function(x){sqrt(exp(x)/3)}
h <- function(x){g(x)-f(x)}

graf <- ggplot()+
  #geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje x
  #geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje y
  #geom_line(aes(x=x_a, y=y_a), color="red", linewidth=1)+
  geom_function(fun=f,color="red",linewidth=0.75,n=200)+
  geom_function(fun=g,color="blue",linewidth=0.75,n=200)+
  geom_function(fun=h,color="yellow",linewidth=0.75,n=200)+
  coord_fixed(ratio = 1)+ # misma escala en los ejes
    xlim(-2,2)+
  labs(x="x", y="f(x)", title="Primera gráfica")+
  theme_bw()


ggplotly(graf)
it_pf(g,1,pr=1e-10)
## $sucesion
##  [1] 1.0000000 0.9518897 0.9292650 0.9188121 0.9140225 0.9118362 0.9108400
##  [8] 0.9103864 0.9101800 0.9100860 0.9100433 0.9100238 0.9100150 0.9100109
## [15] 0.9100091 0.9100083 0.9100079 0.9100077 0.9100076 0.9100076 0.9100076
## [22] 0.9100076 0.9100076 0.9100076 0.9100076 0.9100076 0.9100076 0.9100076
## 
## $precision
## [1] 6.564504e-11
## 
## $iteraciones
## [1] 27
bisect(h,0,2)
## $root
## [1] 0.9100076
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 55
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

  1. \(\quad x=5^{-x}\)

  2. \(\quad x=6^{-x}\)

  3. \(\quad x=0.5(\sin x+\cos x)\)

f <- function(x){x}
g <- function(x){0.5*(sin(x)+cos(x))}
h <- function(x){g(x)-f(x)}

graf <- ggplot()+
  #geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje x
  #geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje y
  #geom_line(aes(x=x_a, y=y_a), color="red", linewidth=1)+
  geom_function(fun=f,color="red",linewidth=0.75,n=200)+
  geom_function(fun=g,color="blue",linewidth=0.75,n=200)+
  geom_function(fun=h,color="yellow",linewidth=0.75,n=200)+
  coord_fixed(ratio = 1)+ # misma escala en los ejes
    xlim(-2,2)+
  labs(x="x", y="f(x)", title="Primera gráfica")+
  theme_bw()


ggplotly(graf)
it_pf(g,0.75,pr=1e-10)
## $sucesion
## [1] 0.7500000 0.7066638 0.7049162 0.7048179 0.7048123 0.7048120 0.7048120
## [8] 0.7048120 0.7048120
## 
## $precision
## [1] 5.868017e-11
## 
## $iteraciones
## [1] 8
bisect(h,0,1)
## $root
## [1] 0.704812
## 
## $f.root
## [1] 1.110223e-16
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16